图的存储——邻接矩阵

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1. 什么是图

图论(graph theory) 是数学的一个分支,它以 图 为研究的对象。

图论本身是应用数学的一部分,历史上图论曾经被很多数学家各自独立建立过。关于图论的最早文字记载最早出现在欧拉 1736 年的论著中,也就是著名的柯尼斯堡(Konigsberg)问题(七桥问题)。

 

2. 图的定义

一个图G是一个二元组,即序偶<V,E>,或记作G=<V,E> ,其中V是有限非空集合,称为G的顶点集,V中的元素称为顶点或结点;E称为 G的边的集合,所有的边ei都属于E,都有v中的结点与之对应,称ei为 G的边。

 

3. 图的基本概念

l  无向图:每条边都是无向边的图。

l  有向图:每条边都是有向边的图。

l  混合图:在一个图中,有些边是有向边,另一些边是无向边,则该图为混合图。

l  有限图:一个图的点集和边集都是有穷集的图。

l  零图:边集为空集的图。

l  平凡图:仅有一个结点而没有边构成的图。

l  关联:若有ei=(u,v) 且ei属于E ,则称u是和v相关联的。

l  孤立点:无边关联的点。

l  自环:若一条边所关联的两个结点重合,则称此边为自环。

l  邻接:关联于同一条边的两个点  和  称为邻接的;关联于同一个点的两条边  和  是邻接的(或相邻的)。


4.两个定理:

381.png

l  推论:在任意图中,度数为奇数的点必然有偶数个。

382.png


l  推论:即所有点入度之和等于出度之和。

(这个比较好理解,就如同问世界上的上坡多还是下坡多一样,答案是一样多)

 

由上面的概念可知,树或者是森林,就是一种特殊的图。


5. 最简单的存储——邻接矩阵

邻接矩阵的英文名是 adjacency matrix。它的形式是 bool adj[n][n],这里面n是节点个数,adj[i][j]表示i和j之间是否有边。

如果边有权值,也可以直接用 int adj[n][n] ,直接把边权存进去。

它的优点是可以在O(1)时间内得到一条边是否存在,缺点是需要占用O(n^2)的空间。对于一个稀疏的图(边相对于点数的平方比较少)来说,用邻接矩阵来存储的话,成本偏高。

其代码可以表示为(假设各边长度均为1):

#include<iostream>
 
using namespace std;
 
const int maxn=105;
int adj[maxn][maxn]={0};    //定义邻接矩阵
 
int x,y;    //输入两条边
int n,m;    //供输入n对边 ,m个顶点 (x,y <= m) 
 
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>x>>y;
        adj[x-1][y-1]=1;
        adj[y-1][x-1]=1;
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            cout<<adj[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}


第一章 数据结构入门
第二章 链表
第三章 栈
第四章 队列
第五章 从C语言到C++
第六章 串,数组,矩阵,广义表
第七章 树
第八章 图
第九章 算法—查找
第十章 算法—排序
第十一章 算法&竞赛,思维培养
第十二章 后记