最小生成树-克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

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1. 克鲁斯卡尔算法简介

克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法(用来求加权连通图的最小生成树的算法)。在剩下的所有未选取的边中,找最小边,如果和已选取的边构成回路,则放弃,选取次小边。

而具体的操作过程为:

a) 将图的所有连接线去掉,只剩顶点

b) 从图的边集数组中找到权值最小的边,将边的两个顶点连接起来

c)  继续寻找权值最小的边,将两个顶点之间连接起来,如果选择的边使得最小生成树出现了环路,则放弃该边,选择权值次小的边

d) 直到所有的顶点都被连接在一起并且没有环路,最小生成树就生成了。

2. 两个核心问题

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二 将边添加到最小生成树中时,怎么样判断是否形成了回路。

 

问题一直接采用排序算法进行排序即可。

问题二的核心思想是记录处理,处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点,顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,重合的话则会构成回路。

3. 代码实现

依旧是仅供参考

#include<stdio.h>
 
#define MAXEDGE 100
#define MAXVERTEX 100
typedef struct Edge {
    int begin;//边的起点
    int end;  //边的终点
    int wight;//边的权值
} Edge;
 
typedef struct Graph {
    char vertex[MAXVERTEX];//顶点
    Edge edges[MAXEDGE];//边
    int numvertex,numedges;//顶点和边的个数
} MGraph;
 
void CreateGraph(MGraph* G) {
    printf("请输入顶点和边的个数:\n");
    scanf("%d%d", &G->numvertex, &G->numedges);
    printf("请输入顶点:\n");
    getchar();//利用该函数除去上一系我们在输入结束时按得回车符
    for (int i = 0; i < G->numvertex; i++) {
        scanf("%c", &G->vertex[i]);
    }
    printf("按权值从小到大输入边(vi,vj)对应的起点和终点的下标,begin,end以及权值wight:\n");
    for (int k = 0; k < G->numedges; k++) {
        Edge e;
        scanf("%d%d%d", &e.begin, &e.end, &e.wight);
        G->edges[k] = e;
    }
}
 
int Find(int *parent, int f) {
    while (parent[f]>0) {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}
 
//最小生成树,克鲁斯卡尔算法
void Kruskal(MGraph *G) {
 
    int parent[MAXVERTEX];//存放最小生成树的顶点
    for (int i = 0; i < G->numvertex; i++) {
        parent[i] = 0;
    }
    int m, n;
    for (int i = 0; i < G->numedges; i++) {
        n = Find(parent, G->edges[i].begin);
        m = Find(parent, G->edges[i].end);
        if (n != m) { //m=n说明有环
            parent[n] = m;
            printf("(%d,%d) %d\t", G->edges[i].begin, G->edges[i].end, G->edges[i].wight);//打印边和权值
        }
    }
}
 
int main() {
    MGraph G;
    CreateGraph(&G);
    Kruskal(&G);
 
    return 0;
}


第一章 数据结构入门
第二章 链表
第三章 栈
第四章 队列
第五章 从C语言到C++
第六章 串,数组,矩阵,广义表
第七章 树
第八章 图
第九章 算法—查找
第十章 算法—排序
第十一章 算法&竞赛,思维培养
第十二章 后记