图文解析图论BFS（广度优先搜索）

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BFS 全称是 Breadth First Search，中文名是宽度优先搜索，也叫广度优先搜索。是图上最基础、最重要的搜索算法之一。

所谓宽度优先。就是每次都尝试访问同一层的节点。如果同一层都访问完了，再访问下一层。这样做的结果是，BFS 算法找到的路径是从起点开始的最短合法路径。换言之，这条路径所包含的边数最小。

在 BFS 结束时，每个节点都是通过从起点到该点的最短路径访问的。

（1）我们可以用比喻来说明广度优先搜索算法

● 在一片草木枯黄的深秋草原上，在草原的某一处出现了一处野火

● 一开始的时候野火集中于一点之上，在这点野火耗尽当前植被变成灰烬之前点燃了周围的植被

● 比如节点s是初始火种，假设我们手中有一个秒表，每过1秒，我们的大火会向外迈进一步

● 这个过程只能向外，不能向内，因为只能点燃植被，不能把灰烬点燃

● 蓝色的点是即将变为灰烬的点，红色的点是刚被点燃的点，灰色的圆形或圆角矩形是一个前锋面

● 所谓前锋面是火焰向外传播的一个面，frontier

● 之后，每一处的植被都按照同样的模型向外去蔓延, 点燃外层的邻居，前锋面越来越大，最终整个草原燃烧殆尽

● 这个过程是非常自然的，也就是所谓的道法自然，模拟自然的一个过程

● 整个过程，如下图所示

宽度优先搜索

● 任何图结构的模型，只要指定一个节点，比如上图中的s点作为"树根"

● 我们可以把整棵树(图)摊平在某个桌面上，接下来就要开始进行模拟计算

● 如果一个点自己是点燃状态的，那么它接下来就通过一个边去点燃外部的邻居

● 如果邻居是灰烬状态不会被点燃(不会向内部传播)，就是这个过程可以点燃整片草原

● 这个方法可以针对s点而言可达的，连通的部分全部访问一遍，这种访问的特点是不重不漏

● 这个方法被称为遍历，也就是traverse或traversal

算法框架实现

template <typename Tv, typename Te>

// v是初始点，clock是读秒器或称为计时器
void Graph<Tv, Te>::BFS(int v, int & clock) {
    // 1. 初始化
    // 1.1 内部引入一个队列Q, 任何一个点，初始化的时候都是UNDISCOVERED状态，初始的时候v指定为DISCOVERED状态
    // 1.2 换种说法：UNDISCOVERED是未燃烧状态，DISCOVERED是燃烧状态
    // 1.3 初始点入队
    Queue<int> Q; status(v) = DISCOVERED; Q.enqueue(v);
    // 2. 处理当前的前锋面上的所有元素
    // 2.1 进行循环处理, 循环终止条件是队列变空, 也就是燃烧殆尽
    while(!Q.empty()) {
        // 反复地，如果不空, FIFO, 并且添加一个时间标签，这里的dTime, d暗示DISCOVERED
        // 这时候一个元素独立的占据1s，其实同一个前锋面上的点在自然环境中是同时燃烧的
        // 因为我们没法做到, 所以为每一个元素添加一个时间标签，这是一种蹩脚的体现
        int v = Q.dequeue(); dTime(v) = ++clock; // 取出队首顶点v
        // 考察v的每一邻居u，这个for循环是这个v点的使命，-1<u, 表示u不再是邻居了
        for(int u = firstNbr(v); -1 < u; u = nextNbr(v,u)) {
            // 根据u的状态，分别处理
            if(UNDISCOVERED == status(u)) {
                // 若u尚未被发现，则
                status(u) = DISCOVERED; // 当前邻居标记成DISCOVERED状态
                Q.enqueue(u); // 发现该顶点，将该邻居入队尾，进入前锋面的范围
                type(v,u) = TREE; // u之所以会烧起来是被内部的邻居v点燃的, 在将来生成的树中，火传递的方向对应的就是边, 引入树边TREE EDGE
                parent(u) = v; // u要把v作为自己的parent
            } else {
                // 若u已被发现(正在队列中)，或者已经能访问完毕(已出队列),将(v,u)归类于跨边
                type(v,u) = CROSS;
            }
        }
        // 2.2. 此时，当前顶点访问完毕，也就是v变成了灰烬并且处理完成v所有的邻居
        status(v) = VISITED;
    }
}

● 代码实现可以有很多风格，每种都会有细微的差异，这里的算法是基于c++模板构成的

● 这个算法是模拟自然的过程，最重要的模拟是如何模拟前锋面

● 只要我们模拟出了前锋面(一圈一圈的，一个单位时间，对应一个半径的增长)，就模拟出了整个燃烧的过程

● 目前，我们没有什么好的并行机制，将任何时候的前锋面模拟出来，我们需要一个数据结构

● 我们需要把所有前锋面上的所有点都收容进去，但是我们不可能理想的并行的去模拟

● 实际上，前锋面上的每个火源都是各向同性，互不干扰，高效地往外传递，但是我们的计算必须要一个点一个点的处理

● 这些前锋面上的火源表面上看都是相等的，但是我们需要人为的指定一个优先级，比如指定一个点A

● 在处理这个点A的时候，我们要模拟它在燃烧模型中的行为，它的外层邻居如：A1′,A2′,A3′...将被点燃

● 这个时候就有意思了，当它的这些外层邻居都点燃了, 点A就会成为灰烬，就可以被删除了

● 而且理想模型下的点A的同辈：B,C,D…这些在前锋面上的同辈兄弟节点都没有了，都可以被删除了

● 这个时候，就形成了第二个前锋面，但是这个理想型的并发模型，我们无法实现

● 所以，当点A变成灰烬之时，就可以组织第二个前锋面了，我们让点A的外层邻居先进来