蓝桥杯2022年第十三届决赛真题-迷宫

这天，小明在玩迷宫游戏。

迷宫为一个 n × n 的网格图，小明可以在格子中移动，左上角为 (1, 1)，右下角 (n, n) 为终点。迷宫中除了可以向上下左右四个方向移动一格以外，还有 m 个双向传送门可以使用，传送门可以连接两个任意格子。

假如小明处在格子 (x₁, y₁)，同时有一个传送门连接了格子 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，那么小明既可以花费 1 的步数向上下左右四个方向之一走一格 (不能越过边界)，也可以花费 1 的步数通过传送门走到格子 (x₂, y₂) 去。

而对于同一个迷宫，小明每次进入的初始格子是在这 n × n 个格子中均匀随机的 (当然运气好可以直接随机到终点)，他想知道从初始格子走到终点的最短步数的期望值是多少。

输入共 1 + m 行，第一行为两个正整数 n, m。

后面 m 行，每行四个正整数 x_i1, y_i1, x_i2, y_i2 表示第 i 个传送门连接的两个格子坐标。

2 1
1 1 2 2

0.75

由于传送门的存在，从 (1, 1) 出发到终点 (2, 2) 只需要一步；而从 (1, 2) 和 (2, 1) 出发也只需要向下/右走一步；从 (2, 2) 出发需要 0 步。所以步数期望为  = 0.75。

对于 20% 的数据，保证 n, m ≤ 20；

对于 100% 的数据，保证 n, m ≤ 2000; x_i1, y_i1, x_i2, y_i2 ≤ n 。