哈夫曼树的介绍及C语言代码实现

1. 简介

哈夫曼树（Huffman Tree），又名：最优二叉树，赫夫曼树

其标准含义是：给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

2. 相关名词

由于本篇存在一定的难度，因此在开始相关的学习之前，请让我们来巩固以下本文所涉及的名词知识点。

a) 路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。

b) 路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。例如在一棵树中，规定根结点所在层数为1层，那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。

c) 结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。

d) 结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

e)  树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL”。

3.构建哈夫曼树

在构建哈夫曼树时，只需要遵循一个原则，那就是权重越大的结点距离树根越近。

因此，在构建过程中，有如下的规律：

首先，选出我们数据中最小的两个数据，构建成二叉树的左孩子和右孩子，而根的数据为两者之和

其次，将刚才合成的数据作为右孩子，左孩子从未处理的数据中选出最小的一个，作为左孩子，他们的根同样为左右孩子的权值和

不断重复上述的步骤，直到将所有的数据全部处理完并构建出二叉树，这棵二叉树就是我们的哈夫曼树。

 如图这颗哈夫曼树的WPL值为：WPL= 8*1+ 6*2 + 1*3 + 4*3 = 273

4. 哈夫曼树的结点结构

与一般的二叉树并没有什么实质的不同，甚至可以说结构都完全一致，由于性值，因此其需要利用parent进行访问双亲结点

其代码表示为：

//哈夫曼树结点结构
typedef struct {
    int weight; //结点权重
    int parent, left, right;    //父结点、左孩子、右孩子在数组中的位置下标
} HTNode, *HuffmanTree;

其中weight为结点权重，

5.构建哈夫曼树

由上文的分析可知，构建哈夫曼树时，我们需要根据各个结点的权重值，筛选出其中值最小的两个结点，构建二叉树。

其代码为：

//HT为地址传递的存储哈夫曼树的数组，w为存储结点权重值的数组，n为结点个数
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree *HT, int *w, int n) {
    if(n <= 1)
        return; // 如果只有一个编码就相当于0
    int m = 2*n-1; // 哈夫曼树总节点数，n就是叶子结点
    *HT = (HuffmanTree)malloc((m+1) * sizeof(HTNode)); // 0号位置不用
    HuffmanTree p = *HT;
// 初始化哈夫曼树中的所有结点
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        (p+i)->weight = *(w+i-1);
        (p+i)->parent = 0;
        (p+i)->left = 0;
        (p+i)->right = 0;
    }
//从树组的下标 n+1 开始初始化哈夫曼树中除叶子结点外的结点
    for(int i = n+1; i <= m; i++) {
        (p+i)->weight = 0;
        (p+i)->parent = 0;
        (p+i)->left = 0;
        (p+i)->right = 0;
    }
//构建哈夫曼树
    for(int i = n+1; i <= m; i++) {
        int s1, s2;
        Select(*HT, i-1, &s1, &s2);    //查找内容，需要用到查找算法
        (*HT)[s1].parent = (*HT)[s2].parent = i;
        (*HT)[i].left = s1;
        (*HT)[i].right = s2;
        (*HT)[i].weight = (*HT)[s1].weight + (*HT)[s2].weight;
    }
}