三维计算几何基础

本篇内容是围绕着三维计算几何展开，三维几何的很多概念和知识与二维几何是想通的，所以在我们做三维几何问题的时候，可以采用解决二维几何问题相同的方法来解决。

其中点，向量，直线等概念和二维几何相似，就不再重复介绍了。

平面

我们可以用平面上的一点和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量）n来表示一个平面。

因为n垂直于平面，所以n垂直于该平面内的所有直线。换句话说，设，则该平面上的点都满足 

 。

根据向量点积的定义，上式等价于：

整理后得到：

令，则上式变成 。我们称这个式子为平面的一般式。

基本操作

直线、平面之间的夹角

运用空间向量的知识，空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出。

对于两条异面直线 a，b，过空间中一点P，作，则与所成的锐角或直角被称为a和b两条异面直线所成的角。

对于直线a和平面α，若a与α相交于A，过a上一点P引平面α的垂线交α于O，则a与PO所成的角被称为直线与平面所成的角。特别地，若 a || α 或，则它们之间的夹角为0°。

对于两个平面α，β，它们的夹角被定义为与两条平面的交线 l 垂直的两条直线a，b（其中）所成的角。

两直线夹角定义与关系充要条件

（1）两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角。

有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线，它们的方向向量分别是，，设为两直线夹角，我们可以得到

（2）

（3）

三维向量与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角。

设直线向量，平面法线向量，那么以下命题成立：

（1）角度的正弦值：

直线 与平面平行

直线与平面垂直 

点到平面的距离

直线与平面的交点

直接联立直线方程和平面方程即可。

立体几何定理

三正弦定理

设二面角M-AB-N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ 。

三余弦定理

设O为平面上一点，过平面外一点B的直线BO在面上的射影为AO，OC为面上的一条直线，那么三角的余弦关系为： 只能是锐角）。