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二分查找(折半查找)实例讲解

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二分查找(英语:binary search),也称折半查找(英语:half-interval search)、对数搜索(英语:logarithmic search),是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。

二分查找算法仅适用于有序序列,它只能用在升序序列或者降序序列中查找目标元素。


一、工作原理

以在一个升序数组中查找一个数为例。

它每次考察数组当前部分的中间元素,如果中间元素刚好是要找的,就结束搜索过程;如果中间元素小于所查找的值,那么左侧的只会更小,不会有所查找的元素,只需到右侧查找;如果中间元素大于所查找的值同理,只需到左侧查找。


二、性质

(1)时间复杂度

二分查找的最优时间复杂度为O(1) 。

二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 O(logn)。因为在二分搜索过程中,算法每次都把查询的区间减半,所以对于一个长度为n 的数组,至多会进行 O(logn) 次查找。


(2)空间复杂度

迭代版本的二分查找的空间复杂度为O(1) 。

递归(无尾调用消除)版本的二分查找的空间复杂度为O(logn) 。


三、二分查找算法原理

(1)若待查序列为空,则返回-1,并退出算法;

(2)若待查序列不为空,则将它的中间元素与目标数值进行比较,判断是否相等;

(3)若相等,则返回中间元素索引,并退出算法;此时已查找成功。

(4)若不相等,则比较中间元素与目标数值的大小;

(5)若中间元素 > 目标数值,则将当前序列的前半部分作为新的待查序列;

(6)若中间元素 < 目标数值,则将当前序列的后半部分作为新的待查序列;

(7)在新的序列上重新从第(1)步开始查找。


四、以在升序序列中查找目标元素为例,二分查找算法的实现思路是:

(1)初始状态下,将整个序列作为搜索区域(假设为 [B, E]);

(2)找到搜索区域内的中间元素(假设所在位置为 M),和目标元素进行比对。如果相等,则搜索成功;如果中间元素大于目标元素,表明目标元素位于中间元素的左侧,将 [B, M-1] 作为新的搜素区域;反之,若中间元素小于目标元素,表明目标元素位于中间元素的右侧,将 [M+1, E] 作为新的搜素区域;

(3)重复执行第二步,直至找到目标元素。如果搜索区域无法再缩小,且区域内不包含任何元素,表明整个序列中没有目标元素,查找失败。


五、实例讲解

在下图所示的升序序列中查找元素 31。

二分查找实例

二分查找算法的具体实现过程为:

(1)初始状态下,搜索区域是整个序列。找到搜索区域内的中间元素。指定区域内中间元素的位置可以套用如下公式求出:

Mid = ⌊ Begin + (End - Begin) / 2 ⌋

End 表示搜索区域内最后一个元素所在位置,Begin 表示搜索区域内第一个元素所在的位置,Mid 表示中间元素所在的位置。

所有元素的位置分别用 0~9 表示,中间元素的位置为 ⌊ 0 + (9 - 0) / 2 ⌋ = 4,如下图所示:

二分查找实例

中间元素 27 < 31,可以断定 [0, 4] 区域内绝对没有 31,目标元素只可能位于 [5, 9] 区域内,如下图所示:

二分查找实例

(2)在 [5, 9] 区域内,中间元素的位置为 ⌊ 5 + (9 - 5) / 2 ⌋ = 7,如下图所示:

二分查找实例

中间元素 35 > 31,可以断定 [7, 9] 区域内绝对没有 31,目标元素只可能位于 [5,6] 中,如下图所示:

二分查找实例

(3)在 [5, 6] 区域内,中间元素的位置为 ⌊ 5 + (6- 5) / 2 ⌋ = 5,中间元素就是 31,成功找到目标元素。


六、代码展示

(1)如下是用二分查找算法在 {10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44} 升序序列中查找元素 31 的 C 语言程序:

#include <stdio.h>
//实现二分查找算法,ele 表示要查找的目标元素,[p,q] 指定查找区域
int binary_search(int *arr,int p,int q,int ele) {
    int mid = 0;
    //如果[p,q] 不存在,返回 -1
    if (p > q) {
        return -1;
    }
    // 找到中间元素所在的位置
    mid = p + (q - p) / 2;
    //递归的出口
    if (ele == arr[mid]) {
        return mid;
    }
    //比较 ele 和 arr[mid] 的值,缩小 ele 可能存在的区域
    if (ele < arr[mid]) {
        //新的搜索区域为 [p,mid-1]
        return binary_search(arr, p, mid - 1, ele);
    }
    else {
        //新的搜索区域为 [mid+1,q]
        return binary_search(arr, mid + 1, q, ele);
    }
}

int main()
{
    int arr[10] = { 10,14,19,26,27,31,33,35,42,44 };
    //输出二叉查找元素 31 所在位置的下标
    printf("%d", binary_search(arr, 0, 9, 31));
    return 0;
}

(2)如下是用二分查找算法在 {10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44} 升序序列中查找元素 31 的 Java 程序:

public class Demo {
    // 实现二分查找算法,ele 表示要查找的目标元素,[p,q] 指定查找区域
    public static int binary_search(int[] arr, int p, int q, int ele) {
        // 如果[p,q] 不存在,返回 -1
        if (p > q) {
            return -1;
        }
        // 找到中间元素所在的位置
        int mid = p + (q - p) / 2;
        // 递归的出口
        if (ele == arr[mid]) {
            return mid;
        }
        // 比较 ele 和 arr[mid] 的值,缩小 ele 可能存在的区域
        if (ele < arr[mid]) {
            // 新的搜索区域为 [p,mid-1]
            return binary_search(arr, p, mid - 1, ele);
        } else {
            // 新的搜索区域为 [mid+1,q]
            return binary_search(arr, mid + 1, q, ele);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[] { 10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44 };
        // 输出二叉查找元素 31 所在位置的下标
        int add = binary_search(arr, 0, 9, 31);
        System.out.print(add);
    }
}

(3)如下是用二分查找算法在 {10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44} 升序序列中查找元素 31 的 Python 程序:

#实现二分查找算法,ele 表示要查找的目标元素,[p,q] 指定查找区域
def binary_search(arr,p,q,ele):
    #如果[p,q] 不存在,返回 -1
    if p > q:
        return -1
    #找到中间元素所在的位置
    mid = p + int( (q - p) / 2 )
    #递归的出口
    if ele == arr[mid]:
        return mid
    #比较 ele 和 arr[mid] 的值,缩小 ele 可能存在的区域
    if ele < arr[mid]:
        return binary_search(arr,p,mid-1,ele)
    else:
        return binary_search(arr,mid+1,q,ele)

arr = [10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44]
#输出二叉查找元素 31 所在位置的下标
add = binary_search(arr, 0, 9, 31);
print(add)

以上程序的输出结果均为:

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知识点标签:二分


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第二章 搜索算法
第三章 排序算法
第四章 字符串相关
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第七章 数据结构
第八章 图论
第九章 计算几何
第十章 其他算法
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