递归算法概念与实例讲解

本篇主要是围绕着递归算法的概念、实质、思想以及设计要素四个方向叙述，同时通过实例讲解，促进大家对递归算法的理解。

一、算法概念

递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。说简单了就是程序自身的调用。

二、算法实质

递归算法就是将原问题不断分解为规模缩小的子问题，然后递归调用方法来表示

问题的解。（用同一个方法去解决规模不同的问题）

三、算法思想

递归算法，顾名思义就是有两个大的阶段：递和归，即就是有去（递去）有回（归来）。

递去：将递归问题分解为若干个规模较小，与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以用相同的解题思路来解决

归来：当你将问题不断缩小规模递去的时候，必须有一个明确的结束递去的临界点（递归出口），一旦达到这个临界点即就从该点原路返回到原点，最终问题得到解决。

递归的图解分析

四、递归算法的设计要素

递归思维是一种从下向上的思维方式，使用递归算法往往可以简化我们的代码，而且还帮我们解决了很复杂的问题。递归算法的难点就在于它的逻辑性，一般设计递归算法需要考虑以下几点:

（1）明确递归的终止条件

（2）提取重复的逻辑，缩小问题的规模不断递去

（3）给出递归终止时的处理办法

五、递归算法的经典实例

（1）阶乘

         n! = n * (n-1) * (n-2) * ...* 1(n>0)

//阶乘
int recursive(int i)
{
	int sum = 0;
	if (0 == i)
		return (1);
	else
		sum = i * recursive(i-1);
	return sum;
}

（2）河内塔问题

（3）全排列

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

如1,2,3三个元素的全排列为：

  1,2,3

  1,3,2

  2,1,3

  2,3,1

  3,1,2

  3,2,1

//全排列
inline void Swap(int &a,int &b)
{
	int temp=a;
	a=b;
	b=temp;
}
void Perm(int list[],int k,int m)
{
	if (k == m-1) 
	{
		for(int i=0;i<m;i++)
		{
			printf("%d",list[i]);
		}
		printf("n");
	}
	else
	{
		for(int i=k;i<m;i++)
		{
			Swap(list[k],list[i]); 
			Perm(list,k+1,m);
			Swap(list[k],list[i]); 
		}
	}
}

（4）斐波那契数列

斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

有趣的兔子问题：

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

分析如下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；

两个月后，生下一对小兔子，总数共有两对；

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，总数共是三对；

……

依次类推可以列出下表：

//斐波那契
long Fib(int n)
{
	if (n == 0) 
		return 0;
	if (n == 1) 
		return 1;
	if (n > 1) 
		return Fib(n-1) + Fib(n-2);
}