复数的概念和运算

复数的引入，追根求源，最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解

这个由实数组成的方程，显然没有实数根。所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。

首先引入一个“新数” i。使它满足

也就是说 i 是

的解。

我们再给复数定义：形如 z=a+bi的数就是复数。其中 a和b分别叫做复数 z 的实部和虚部。

注意，b才是虚部， bi不是虚部。

记作：a=Re(z),b=Im(z)

复数z=a+bi的分类

当虚部b=0时，复数z是实数；

当虚部b!=0时，复数z是虚数；

当虚部b!=0，且实部a=0时，复数z是纯虚数。

一些集合的记号

R——实数集，C——复数集

P——虚数集，Q——纯虚数集

有下列关系：

R∩P=ϕ

R∪P=C

Q⊊P⊊C

复数相等的充分必要条件

设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，而二者相等的充分必要条件是a=c而且b=d。

化虚为实是复数问题的通性通法

复数的运算法则

对于两个复数z1=a+bi，z2=c+di

z1+z2=(a+c)+(b+d)i

z1−z2=(a−c)+(b−d)i

z1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

复数的运算定律

复数的加法满足交换律，结合律。

也就是z1+z2=z2+z1

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

复数的乘法满足交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律。也就是

z1×z2=z2×z1

(z1z2)z3=z1(z2z3)

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

共轭复数

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数。特别地，若复数的虚部不为零时，也称作互为共轭虚数。对于复数z=a+bi(a、b∈R)，它的共轭复数用来表示。

共轭复数有如下基本性质