位运算的应用

从现代计算机中所有的数据二进制的形式存储在设备中。即 0、1 两种状态，计算机对二进制数据进行的运算(+、-、*、/)都是叫位运算，即将符号位共同参与运算的运算。

一、位运算概述

我们知道，计算机中的数在内存中都是以二进制形式进行存储的 ，而位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作，因此其执行效率非常高，在程序中尽量使用位运算进行操作，这会大大提高程序的性能。

那么，涉及位运算的运算符如下表所示：

位运算符举例

 以a = 52和b = 1314为例

（1）按位与&：两个数相应位都为1，则该位的结果为1，否则为0

	   0000 0011 0100	--- 52
	&  0101 0010 0010	--- 1314
	—————————————————
	   0000 0010 0000	--- 32

（2）按位或 | ： 两个数相应位有一个为1，则该位的结果为1，否则为0

	   0000 0011 0100	--- 52
	|  0101 0010 0010	--- 1314
	—————————————————
	   0101 0011 0110	--- 1334

（3）按位异或 ^ ： 两个数相应位不同时，则该位的结果为1，否则为0

	   0000 0011 0100	--- 52
	^  0101 0010 0010	--- 1314
	—————————————————
	   0101 0001 0110	--- 1302

（4）按位取反 ~ ： 对数的每一个位取反，即1变0，0变1（以该数存储为16位无符号整数为例）

以该数存储为16位无符号整数为例:
	~  0000 0101 0010 0010	--- 1314
	——————————————————————
	   1111 1010 1101 1101	--- 64221

以该数存储为16位有符号整数为例（第一位为符号位，在计算机中，负数以补码存储）:
	~  0000 0101 0010 0010	--- 1314
	——————————————————————
	   1111 1010 1101 1101	--- -1315

（5）左移运算 << ： 将数的每个位向左移，高位丢弃，低位补0（以该数存储为16位无符号整数为例）

	<<2  0000 0101 0010 0010	--- 1314
	————————————————————————
	     0001 0100 1000 1000	--- 5256

（6）右移运算 >> ： 将数的每个位向右移，高位补0，低位丢弃（以该数存储为16位无符号整数为例）

	>>2  0000 0101 0010 0010	--- 1314
	————————————————————————
	     0000 0001 0100 1000	--- 328

二、位运算的性质

（1）运算符的优先级

优先级需要弄清楚，如果不太清楚可以加小括号确保是想要的运算顺序，这里只是相对优先级，即只是和一些常用的算术运算符做比较。

（2）位运算符的运算律

以上仅为已证明的运算律（可能存在特殊情况和遗漏），注意：千万不要将逻辑运算的运算律或者其他的运算律与这混为一谈。

三、位运算高级操作

如下表，请读者认真阅读理解，在阅读的过程中可以对示例进行运算。

这里只是一些常用的，并不是全部，大家可以通过不断的练习，获得更多实践经验。

四、负数的位运算

首先，我们要知道，在计算机中，运算是使用的二进制补码，而正数的补码是它本身，负数的补码则是符号位不变，其余按位取反，最后再+1得到的， 例如：

15,原码:00001111补码:00001111

−15,原码:10001111补码:11110001

那么对于负数的位运算而言，它们的操作都是建立在补码上的，得到的运算结果是补码，最后将补码结果转化成一个普通的十进制数结果。但需要注意的是，符号位是需要参与运算的，而在左移右移操作中，负数右移补1，左移右边补0。例如对于-15，其补码为11110001 , 右移一位(−15>>1)得到的是11111000，即-8，其他的同理。

这里我们介绍几个特殊的性质：

（1）快速判断是否为-1

在链式前向星中，我们初始化head数组为-1，最后判断是否遍历完u的所有边时，即判断i是否为-1，我们直接用∼ i即可。原因就在于-1的补码是11111111，按位取反就变为00000000，这实际上就是0。

（2）取最低位的1，lowbit函数

也就是x\&(-x)，这在树状数组中起着巨大作用，我们来证明一下，这里取x=15，对于15\&(-15)，我们知道，在补码上进行运算得到的是00000001，需要注意二元运算的符号位我们需要进行运算。

五、位运算的一些应用

（1）位运算实现乘除法

将x左移一位实现×2，将x右移一位实现÷2。

a<<1≡a∗2

a>>1≡a/2

（2）位运算交换两整数

 void swap(int &a,int &b){
      a ^= b;
      b ^= a;
      a ^= b;
  }

这效率非常高，我们来剖析其原理，对于a=a∧b，则b=b∧(a∧b)，根据交换律以及异或性质，得b=b∧b∧a=0∧a=a，同理a=(a∧b)∧a=0∧b=b。这样就实现了交换操作。

（3）位运算判断奇偶数

我们知道，在二进制中，最低位决定了是奇数还是偶数，所以我们可以提取出最低位的值，即与1相与即可实现目的，为0则是偶数，为1则是奇数。

（4）位运算改变正负性和求绝对值

int change(int a){
    return ~ a + 1;
}

对于正数而言，补码就是原码，所以按位取反再+1则得到对应真值负数的补码，而对于负数，其补码进行按位取反再 +1则得到对应真值正数的补码，变为原码。那么知道这个我们就可以特判是否为负数==（这里通过右移31位，若为正数，则得到的是0，若为负数，则得到的是-1，而0的补码为0000，-1的补码为1111，根据异或性质即可判断。）== 再进行反转即可实现求绝对值了。如下：

int abs(int a){
    return a ^ (a >> 31) ? a : ~ a + 1;
}

（5）位运算实现对p取余（p为）

int mod(int a,int p){
    return a & (p - 1);
}

取余实际上就是舍去大于等于p的位数，所以我们只需要保留在p范围内的数。由于我们限定了p为，所以(p−1)一定是将小于p的最高位全部变为了1，这样再进行与操作即可得到余数。

（6）位运算统计二进制数1的个数

int count(int x){
    int cnt = 0;
    while(x){
        x = x & (x - 1);
        cnt ++;
    }
    return cnt;
}

对于任意的x，转换成二进制后，是形如这样的数字：aa…aa10…00，从右向左数有任意多个0，直到遇见第一个1，字母a用来占位，代表1左边的任意数字。x-1转换成二进制后，是形如这样的数字：aa…aa01…11，从右向左数，原来的任意多个0都变成1，原来的第一个1，变成0，字母a部分不变。对x 和 x-1 进行 按位与 计算，会得到：aa…aa00…00，从右向左数，原来的第一个1变成了0，字母a部分不变。所以 x & (x-1)相当于消除了 x 从右向左数遇到的第一个1。那么，x转换成二进制后包含多少个1，count函数里的循环就会进行多少次，直到x所有的1都被“消除”。