什么是树上随机游走?我们可以假设给定一棵树,树的某个结点上有一个硬币,在某一时刻硬币会等概率地移动到邻接结点上,问硬币移动到邻接结点上的期望距离。
1. 树上随机游走用到的定义:
● 所讨论的树
● 结点的度数
● 结点与 v 结点之间的边的边权
● 结点的父结点
● 结点的子结点集合
● 结点的兄弟结点集合
2. 向父结点走的期望距离
设代表 u 结点走到其父结点的期望距离,则有:
分子中的前半部分代表直接走向了父结点,后半部分代表先走向了子结点再由子结点走回来然后再向父结点走;分母代表从 u 结点走向其任何邻接点的概率相同。
化简如下:
初始状态为。
当树上所有边的边权都为 1 时,上式可化为:
即 u 子树的所有结点的度数和,也即 u 子树大小的两倍-1(每个结点连向其父亲的边都有且只有一条,除 u 与之间的边只有 1 点度数的贡献外,每条边会产生 2 点度数的贡献)。
3. 向子结点走的期望距离
设 代表结点走到其子结点 u 的期望距离,则有:
分子中的第一部分代表直接走向了子结点 u,第二部分代表先走向了父结点再由父结点走回来然后再向 u 结点走,第三部分代表先走向 u 结点的兄弟结点再由其走回来然后再向 u 结点走;分母代表从结点走向其任何邻接点的概率相同。
化简如下:
初始状态为。
代码实现(以无权树为例)
vector<int> G[maxn]; void dfs1(int u, int p) { f[u] = G[u].size(); for (auto v : G[u]) { if (v == p) continue; dfs1(v, u); f[u] += f[v]; } } void dfs2(int u, int p) { if (u != 1) g[u] = g[p] + f[p] - f[u]; for (auto v : G[u]) { if (v == p) continue; dfs2(v, u); } }
知识点标签:树
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